拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，[1]  又名拉氏变换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有

参数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。拉普拉斯变换在许多工程技术和科学研究领域中有着广

泛的应用，特别是在力学系统、电学系统、自动控制系统、可靠性系统以及随机服务系统等系统科学中都起着重要作用。

拉普拉斯变换是对于t>=0函数值不为零的连续时间函数x(t)通过关系式

 

(式中st为自然对数底e的指数)变换为复变量s的函数X(s)。它也是时间函数x(t)的“复频域”表示方式。据此，在“电路分析”中，元件的伏安关系可以在复频域中进行表示，即电阻元件：V=RI,电感元件：V=sLI,电容元件：I=sCV。如果用电阻R与电容C串联，并在电容两端引出电压作为输出，那么就可用“分压公式”得出该系统的传递函数为H(s)=(1/RC)/(s+(1/RC))

于是响应的拉普拉斯变换Y（s）就等于激励的拉普拉斯变换X（s）与传递函数H（s）的乘积，即Y(s)=X(s)H(s)

如果定义：f(t)是一个关于t的函数，使得当t<0时候，f(t)=0；s是一个复变量；

mathcal 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分int_0^infty e' dt；F(s)是f(t)的拉普拉斯变换结果。

则f(t)，的拉普拉斯变换由下列式子给出：

F(s)，=mathcal left =int_ ^infty f(t)' e' dt 　拉普拉斯逆变换，是已知F(s)' 求解f(t)的过程。用符号 mathcal' 表示。

其公式如下：

对于所有的t>0，

f(t)= mathcal ^ left=frac int_ ^ F(s)' e'ds

c' 是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有F(s)' 的个别点的实部值。

为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。

拉普拉斯变换用 f(t)表示实变量t的一个函数，F(s)表示它的拉普拉斯变换，它是复变量s=σ+j&owega；的一个函数，其中σ和&owega; 均为实变数，j2=-1。F(s)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定：

如果对于实部σ >σc的所有s值上述积分均存在，而对σ ≤σc时积分不存在，便称 σc为f(t)的收敛系数。对给定的实变量函数 f(t)，只有当σc为有限值时，其拉普拉斯变换F(s)才存在。习惯上，常称F(s)为f(t)的象函数，记为F(s)=L[f(t)]；称f(t)为F(s)的原函数，记为f(t)=L-1[F(s)]。

讲了这么多，拼手速的时间到了！2088年1月2号是星期几？